『連続体の力学6 (ベクトル場の微分と積分) 』
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ISBN-13 978484460435X
かなり詳しい
目次
第Ⅰ部 ベクトル場の微分
第1章 ベクトル場
まえがき
〔1〕 スカラ量・ベクトル量テンソル量
B. スカラやベクトルもテンソルである
C. ベクトルとテンソルの定義式について
〔2〕 擬スカラ・擬ベクトル・擬テンソル
A. 真のスカラと擬スカラ
B. 極性ベクトルと軸性ベクトル
〔3〕 $ e_{ijk}と$ \delta_{ij}
A. $ \delta_{ij}は対称テンソル, $ e_{ijk}は反対称テンソル
B. $ \delta_{ij}と$ e_{ijk}の性質
C. $ e_{ijk}と$ \delta_{ij}を含む公式
例題1 $ e-\delta恒等式
D. $ \delta^{ijk\cdots}_{lmn\cdots}と$ e_{ijk\cdots}
〔4〕等方的なテンソル場
A. 零テンソル
B. 2階の等方テンソル
C. 3階の等方テンソル
D. 4階の等方テンソル
第1章のまとめ
第2章 ベクトル場の微分
まえがき
〔1〕 こう配とその物理的意味
A. こう配の定義とその性質
B. 斜交座標と$ \nabla
C. ベクトルによる微分
D. ベクトルによる偏微分
例題2 面積分を用いたこう配の定義
例題3 こう配
〔2〕 こう配の応用
A. ポテンシャルと仕事
E. 1次独立性
B. 発散の応用
例題2 発散と体膨張
例題3 連続の方程式
例題 4 熱伝導の方程式
〔4〕 回転とその物理的意味
B. Stokesの定理
C. 循環の計算例
D. 回転の応用
例題1 面積分を用いた回転の定義
例題2 うず度の計算
例題4 回転の円柱座標表示
例題5 回転の球座標成分
第2章のまとめ
第3章 微分公式
まえがき
〔1〕 テンソルのこう配, 発散,回転
A. テンソルのこう配
B. テンソルの発散
C. テンソルの回転
D. テンソルに対するこう配, 発散, 回転の定義
E. 積分変換
A. 反対称ダイアディックに双対な軸性ベクトル
B. テンソルの反対称部分とベクトル
C. 反対称テンソルに双対な反対称擬テンソル
D. 高階のテンソルへの拡張
E. 双対関係の応用
例題1 スピン・テンソルとうず度ベクトル
例題2 スピンテンソル
例題3 双対なテンソルの求め方
〔3〕 微分公式
A. 微分演算の規約
B. スカラとベクトルに関する微分公式
C. ポテンシャルの存在条件
D. $ \pmb{r}および$ \pmb{e}_rに関する微分公式
E. 微分公式の応用
例題1 定ベクトル$ \pmb{a}と$ \pmb{b}を含むもの
例題2 電磁場のポテンシャル
例題3 ベクトル・ポテンシャル
例題4 ベクトル・ポテンシャル
〔4〕 テンソル関数とその微分
A. 関数の拡張
B. 変数がテンソルで関数値がスカラとなる関数の微分
例題1 不変量の微分
例題2 不変量の微分
C. 変数がテンソルで関数値がテンソルとなる関数の微分
第3章のまとめ
第Ⅱ部 ベクトル場の積分
第4章 積分定理 (その1)
まえがき
〔1〕 ベクトル場の積分
B. 面積分 (surface integral) A. 3次元のGreenの定理
B. 2次元のGreenの定理
C. 拡張
〔3〕 Gauss の定理
A. 3次元の Gauss の定理
B. 2次元の Gauss の定理
C. 拡張
例題1 Green の第1,第2公式
〔4〕 Stokes の定理
A. 3次元の Stokes の定理
B. 2次元の Stokes の定理
C. 拡張
例題1 2 次元の Green の定理と2次元の Gauss の定理
例題2 2次元の Green の定理と 2次元の Stokes の定理
例題 3 Stokes-Gauss の定理
第4章のまとめ
第5章 積分定理(その2)
まえがき
〔1〕 一般化された Gauss の定理と Stokes の定理
A. Gauss の定理と Stokes の定理の一般化
B. Gaussの定理
C. Stokesの定理
D. 一般化されたGauss の定理の適用
E.一般化されたStokes の定理の適用
例題3 圧力によるトルクの面積分
A. 変数変換
B. 微分演算
C. 複素数とベクトルとの対応
D. Greenの定理の複素表示
E. 応用例
例題1 Green の定理の複素表示
A. くさび積とベクトル演算の対応
B. 3次元空間の1形式, 2形式, 3形式
D. くさび積の性質
F. Hodgeの星印作用素
例題1 外微分とHodgeの星印作用素
〔4〕 外微分形式の応用
A. Newton 力学への応用
B. 熱力学への応用
C. 電磁気学への応用
例題1 線積分
例題2 面積分
F. n次元の Green の定理と Gauss の定理
第5章のまとめ
第6章 ベクトル場の分類
まえがき
〔1〕 ベクトル場の分類
〔2〕 $ \mathrm{curl}\pmb{v}=0の場 (層状ベクトル場)
D. スカラ・ポテンシャルとベクトル・ポテンシャル
E. ベクトル・ポテンシャルの成分の計算
例題1 ベクトル・ポテンシャル
〔3〕$ \mathrm{div}\pmb{v}=0の場 (管状ベクトル場)
A. 管状ベクトル場の同値関係
D. ベクトル・ポテンシャル
E. 管状ベクトル場の性質
F. $ \nabla\cdot\phi=0の条件は何を意味するか
〔4〕$ \pmb{v}\cdot\mathrm{curl}\pmb{v}=0の場 (複層状ベクトル場)
A. 複層状ベクトル場の表示
〔5〕 一般のベクトル場($ \mathrm{curl}\pmb{v}\neq0,\ \mathrm{div}\pmb{v}=0)
A. Helmholtz の解の一意性の定理
B. Poissonの方程式の一般解
C. Helmholtzの表示
A. 非回転ベクトル場
B. 管状 (solenoidal) ベクトル場
第6章のまとめ
第7章 スカラ・ポテンシャルとベクトル・ポテンシャル
まえがき
〔1〕 スカラ・ポテンシャル
A. Newtonポテンシャル
B. 双極子ポテンシャル
C. 1重層ポテンシャル
D. 2重層ポテンシャル
E. 特異性
〔2〕 ベクトル・ポテンシャル
A. ベクトル場の直交分解
B. ベクトルの境界面におけるDirichlet条件とNeumann条件
C. ベクトル Greenの公式
F. ベクトル Poissonの方程式
G. $ \nabla\cdot\pmb{v}=\theta,\ V\times\pmb{v}=\pmb{\omega}の有限領域の解
〔3〕 スカラ・ポテンシャルとベクトル・ポテンシャルの応用
A. 静電場と静磁場のポテンシャル
D. わき出しとスカラ・ポテンシャル, うずとベクトル・ポテンシャル
〔4〕 積分演算子
A. 定義と物理的意味
C. 逆演算子とベクトル場の分解
第7章のまとめ
事項索引